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限于本人的体力、精力和财力等等诸多因素，恐难以再投入时间继续学习此问题。下面转发一个我看到的早期的文章，请大家参考，也算是再对总舵主的一点点微薄的支持吧。
请看：
中招国际招标公司
模糊数学在评标中应用
——作者:中招国际招标公司 副总经理 秦正富
[ 摘要 本文运用模糊集合理论，结合我国招标工作的实践引入了一些新的定义，推导出一套科学的投标综合评判方法。该方法能真实地综合专家的意见，客观地给投标人排列名次，科学地决定中标单位。]
一、引言
招标投标制是市场经济发展的产物，是市场实现资源优化配置的有力手段。在国家项目建设中越来越重视招标投标制，并逐渐成为政府管理市场的间接手段。作为招标机构在招标活动中应有严格的程序、科学的方法和规范的运作。
在中国规范的招标项目中，每个项目都有特设的专家评标委员会，专门负责评标工作。各位专家根据普遍适用的评标原则，在认真阅读研究各投标人的标书后，作出公平的结论。有些竞争激烈的项目，各投标人设备的性能、质量及技术水平相当，专家们很难取得一致的结论。评判标准不可能象考试题标准答案那么精确，对投标人精确打分。这样在如何对投标人排名次时，往往采?quot;少数服从多数"的原则，举手表决。因此我们所请专家人数一般为奇数。这种方法简称"经验评标法"，它简单实用，有其优越性。
但有以下不足：⑴要求专家人数为单数；⑵专家的权威性得不到体现，表决时专家们都一人一票；⑶"一人一票、举手表决"用于评判投标表决不太科学；⑷不同的投标人之间的差异程度不好区别等。为了克服这些弱点，本文试图运用模糊集合理论来研究投标的综合评判问题，并推导出一套方法?quot;模糊模型评标法"。
二、模糊模型评标法
（一）模糊论集概述[1]
1、模糊性
在现实生活中充满着模糊概念。例如："老年"概念，不但但用年龄来衡量，尤其是在50～70岁之间。不超过50岁无论如何不能看成"老年"，过了70岁肯定认为是"老年"。可是50到70岁过度期就很难说了，还应考虑每个人的心理、体力、智力等因素。老与不老虽有本质区别，但界限是不确定的。象这样的概念，不能简单地在"是"与"否"之间作出两者必取其一且仅取其一的抉择，事实上存在"过渡"和"渐变"的过程，其所包含的对象的全体具有轮廓的不确定性，其边界是模糊的。这种不确定性不同于概率论与数理统计中研究的"随机性"，属于第二类不确定性，人们称之为"模糊性"。
2、模糊集
模糊集是康托集合论的推广。在康托集合论中，把所研究对象的全体称为论域，以U表示。U中的对象称为元素，通常以小写字母u1，u2，……表示。U中的部分元素组成的集合称为U的子集，通常以大写字母A，B，……表示。
在集合论中，考察集合的着眼点是论域中元素对集合的从属关系，而对元素本身的具体性质并不关心，因此只要对论域每个元素都能判断哪个属于该集合，哪个不属于，其特征值域荒苁?和0两个数，属于该集合的为1，不属于该集合的为0。这样的集合被认为是给定的。
但是康托集合只能表达"非此即彼"的现象，而无法表达"亦此亦彼"的现象。在许多场合里，如"老年"，"是"与"不是"、"属于"与"不属于"之间的区别不是突变的，而是有一个边缘地带，过渡过程。换句话说，论域U中任一元素ui和任一子集A之间的关系不应只限于"属于"或"不属于"这两种极端的情况，而应允许存在许多"中介"状态，从而集合特征值域不应只限于由0，1两个数组成，应推广到整个单位区间上，这就是所谓的模糊集。
3、隶属度函数
模糊集合中的元素ui对该集合的"属于程度"是0与1之间的任意值，可以认为是元素ui的函数，我们称之为隶属函数。
1965年美国学者扎德( L.A.Zadeh )给模糊集合定义如下：
论域U={u}上的模糊集合A是由隶属函数μA(ui)来表征的，其中μA(ui)在[0,1]上取值，其大小是u对A的隶属程度的反映。
当论域U为有限论域时，U={u1，u2，…，um},U上的模糊子集A可表示为：
A=μA(u1)/u1+μA(u2)/u2+ … + μA(um)/um (1--1)
( 注：表达式中加号不代表算术和，分数线也不代表相除，只表示元素和其对应的隶属程度的对应排列)
或用对应的模糊向量(即隶属度向量)表示：
A={μA(u1)，μA(u2)， … μA(um)} ( 1-2 )
对于连续论域，模糊子集可表示为：
A= (u U ) ( 1-3 )
例如：设论域取为自然数集，即U={ 1,2,…}，模糊子集A={2左右}，则模糊子集可以表示为：
A=0.8/1+1/2+0.8/3
"分母"位置表示论域中元素，"分子"位置表示相应元素的隶属度，即数1属于"2左右"的程度是0.8，数2肯定属于"2左右"隶属度等于1，数3属于"2左右"的程度是0.8，其它都不算"2左右"隶属度等于0。
再如：上述提到的"老年"这一模糊概念。我们把年龄的集合取为论域，即U=[0，200]。按习惯的看法，"老年"这一模糊集的隶属函数应在[0，50]上恒取0，在[70，200]上恒取1，在[50，70]的过渡期"老年"的隶属函数假设是年龄x的线性函数，则可写出"老年"的隶属函数[2]为：
μA(x)=
（二）综合评判模型的推导
1、评判因素及评语等级
评委为了对投标人的投标有个全面的系统的理解，首先要把投标文件分解成几个部分具体研究，最后再进行综合。这种对投标文件的分析、分解与综合思维活动是贯彻始终的，并且在不同层次上逐步深入，以求得对投标人的投标有个全面的正确的和准确的认识。模糊模型综合评判就是这一思维活动的科学抽象的概括。
模糊模型综合评标的第一步需要确定"评判因素"，这些因素的汇总就是"评判因素论域"，一般认为：
U={u1，u2，…，um} (2 -- 1)
评标因素的确定很重要是评委合理评判的基础，它是全面反映投标人的投标质量的科学的合理的分解。不易选择过多，也不宜太少，一般选择5-7为宜。最终选择哪几个评判因素应由专家讨论决定。一般是①标价；②对招标书的响应；③所投设备的技术性能；④制造厂的业绩及用户反映；⑤制造商的商业信誉等。这理不妨设5个因素作为研究讨论。
u1: 标价； u4： 制造厂的业绩；
u2： 对招标书的响应； u5： 商业信誉等。
u3： 设备技术性能；
综合评判还要规定评语等级，这些等级组成"评语等级论域"，一般记为：
V={v1,v２,…，vｎ}。
这些等级应理解为模糊等级，在实践中一般取5个等级，如下：
v1: 优秀； v4： 及格；
v2： 良好； v5： 不及格。
v3： 中等；
2、单因素评判
如果各投标人的投标价格相近，所投设备制造厂业绩及商业信誉等都不错，仅需评判各投标设备的技术性能这一因素，这样的评判就是单因素评判。设所评判的单因素为ui，U={ui}，则评判该因素对各评语等级的隶属度:
μvj(ui), (j=1,2,…,n).
则评定结果是一个模糊子集：
μv1(ui)/v1 +μv2(ui)/v2 + …+μvn(ui)/vn ( 2 -- 2 )
或用模糊向量表示为：
ri=[ri1,ri2,…,rin], 其中：rij=μvj(ui), ( 2 -- 3 )
3、多因素模糊综合评判
绝大多数评标活动属多因素模糊综合评判。在单因素的基础上，m个因素就得到m个模糊向量：
ri=[ri1,ri2,…,rin], ( i=1,2,…,m ) ( 2 -- 4 )
这些向量可以构成一个m×n模糊矩阵，由于这一矩阵是由m个单因素评判向量组成的，所以称为评判矩阵，一般评判矩阵为：
R= = ( 2 -- 5 )
对于多因素评判，还必须考虑各个因素对评判过程所起的作用大小，这种作用大小ai,(i=1,2,…,m),称"因素加权参数"，可用因素集上的一个模糊集合来表示，记为：
A=a1/u1+a2/u2+ … + am/um ( 2 -- 6 )
这里A称为因素加权模糊集，ai表示第i因素ui在综合评定中所起作用的度量，其在[0，1]上取值。
因素加权参数ai(i=1,2,…,m)的确定是综合评判的一个重要问题，应该尽可能根据可以收集到的各因素大小的原始资料为依据，广泛听取专家的意见来确定。
有了模糊向量A和R就可以进行合成运算，得出对投标人最后的综合评判结果向量B：
B=A*R，即：
[b1,b２,…，bｎ]=[a1,a2,…，am]* ( 2 -- 7 )
式(2-7)中"*"是模糊合成运算的符号，具体计算方法[3]如下：
bj=(a1∧r1j)∨(a2∧r2j)∨…∨(am∧rmj)， (j=1,2,…,n) ( 2-8 )
由算法(2-8)决定的式(2-7)模糊数学模型称"主因素突出型"。这种数学模型适用于要求突出主要因素作用，在对投标综合评判时是适用的。
4、二级综合评判
在实际评标活动中，如投标设备的技术性能这一因素，为便于评审可以把它再细化一点，分出更小的因素。比如细化为主设备的技术性能、辅助设备的技术性能、供货范围等，这样就在综合评判的方法上提出了多级综合评判问题。
当某一对象因素数目较多时，因素加权向量的确定就比较困难，很难用一个确切的数值来表示它的重要程度。这时可以分二个层次进行，把这些众多的因素归类合并成几个大因素来处理。第一层次按上述原理处理某个大因素集下的小因素评判，第二层次是在第一层次的评判基础上对几个大因素进行评判。步骤如下：
⑴设因素论域为U，评判论域为V，把因素论域U按某标准分成S个互不相交的子集：U1，U2，…，US，
满足： =U, = (i j)
⑵对每个因素子集UK (k=1,2,…,s),在V上进行第一级综合评判，UK中各因素在综合评判中作用加权向量为AK，
则：BK=[bk1,bk2,…，bkn]=Ak*Rk ( k=1,2,…,s).
⑶在因素论域{U1，U2，…，US}上进行第二级综合评判，对因素UK( k=1,2,…,s)的单因素向量已经得出，即为BK。
则总的评判矩阵为：
R= = = (2-9)
再根据各因素U1，U2，…，US在综合评判中所起作用的大小确定因素作用加权向量A。最后的评判向量即为：
B=A*R=A* (2-10)
5、隶属函数μvj(u1)的确定
隶属函数是诸评委意见的集中，是评标工作的核心，它确定以后从式(2-7)中算出评判结果B向量，得出最终结果。因此，模糊集隶属函数的确定是十分重要，但也是十分困难的问题。
①在综合评判投标时，如评委的人数很多(超过10人)建议采用隶属频率的值代替隶属函数值（见实例一）。
Ui对A的隶属频率="Ui∈A"的次数/n, (2-11)
式中n为评委总人数。
如某一评标项目中，评委对某一投标人的投对招标书的响应(u2)评定时，10个评委中有6个给出优秀(v1)。
则：μv1(u2)=6/10=0.6
为了更科学地合理确定隶属频率，本文引入评委的表决加权系数φi。由于各评委的资力和专业不一样，应对评语等级的表决力度有所不同。在统计各评委对某评判因素(ui)作出的评语等级(vj)的结论时应分别乘上各评委的表决加权系数(一般取0.9～1.2)再计算隶属频率。在这种情况下必须用式(2-13)代替式(2-11)。下式中n'为评委虚拟总人数。
n'= (2-12)
Ui对A的隶属频率="Ui∈A"的次数/n' (2-13)
如上例给优秀(v1)的6个评委中，2名评委的表决加权系数为1.2，其它8名评委为 1.0，则
μv1(u2)=6.4/10.4=0.62
②在综合评判投标时, 如评委的人数很少(不足10人), 则诸评委必须分别对某评判因素(ui),
作出属于某评语等级(vj)的隶属度。最后用此隶属度分别乘上各评委的表决加权系数(一般取0.9～1.2), 得出总的评判矩阵（见实例二）。
6、模糊评判向量的处理
综合评判所得的结果是表示被评判对象对各评语等级隶属程度的一个模糊评判向量：
B=b1/v1+b2/v2+ …+bn/vn (2-14)
如果一投标人的评判结果向量是：
B=0.7/优秀+0.2/良好+0.05/中等+0.05/及格+0.0/不及格 (2-15)
对于式(2-15)的理解：
①根据"最大隶属度判别准则"式(2-15)可以理解为优秀。
②投标人优劣指数计算法
对于多个投标人投标设备综合评判的优劣比较排列名次时，"最大隶属度判别准则"不宜适用。本文引入"优劣指数"定义：各等级的隶属度分别乘上各等级参数aj
(j=1,2,…,n)后的总和。本文中等级参数取各等级的平均值αi(i=1,2,…,n),见表2-1。
在计算优劣指数前，必须先对评判结果向量B进行"归一化"处理，如下：
评判结果向量变为：B'=[b1',b2',…,bｎ'］
式中：bj'= (2-16)
则评判对象优劣指数 Y= (2-17)
表2-1 等级参数值表
等级vj v1 v2 v3 v4 v5
名称 优秀 良好 中等 及格 不及格
参数αｊ 95 85 75 65 30
式(2-1５)代入式(2-1７)得：
Y=0.70X95+0.20X85+0.05X75+0.05X65+0.0X30=90.5
有了具体的优劣指数Y值，就可以给不同投标人进行排列名次了。
三、模糊模型评标法的应用实例
（一）用隶属频率确定评判矩阵
本文以TC96302招标项目为例用模糊模型法进行试算。TC96302是有限招标，有两名投标人参加了投标，评委由7人组成(如表3-2)。下面以此为例说明该方法的应用步骤。
(1) 数据的收集与确定
①研究决定评标因素及因素加权系数(见表3-1)，评委表决加权系数(见表3-2).
② 请各评委阅读标书后认真填写表3-3 评标等级记录表(共7份).
表3-1
论域U u1 u2 u3 u4 u5
评判因素 标价 对招标书的响应 投标设备技术性能 制造厂业绩 商业信誉
因素加权系数 0.3 0.1 0.4 0.1 0.1
表3-2
评委姓名 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚
职称 教授 副教授 教授 副教授 高工 工程师 工程师
专业 技术 技术 技术 技术 商务 法律 招标
表决加权系数 1.2 1.1 1.2 1.0 0.9 0.9 0.9
表3-3 评语等级记录表
评委姓名：甲 填表日期：96年7月12日
评判 评判 等级 因素 投标人 标价u1 对招标书的响应u2 设备技术性能u3 制造厂业绩u4 商业信誉u5
投标人A 良好 优秀 优秀 优秀 优秀
投标人B 中等 优秀 优秀 优秀、良好 优秀
表3-3 评语等级记录表
评委姓名：乙 填表日期：96年7月12日
评判 评判 等级 因素 投标人 标价u1 对招标书的响应u2 设备技术性能u3 制造厂业绩u4 商业信誉u5
投标人A 良好 优秀 优秀 优秀 优秀
投标人B 中等 优秀 优秀 优秀、良好 优秀
表3-3 评语等级记录表
评委姓名：丙 填表日期：96年7月12日
评判 评判 等级 因素 投标人 标价u1 对招标书的响应u2 设备技术性能u3 制造厂业绩u4 商业信誉u5
投标人A 良好 优秀 优秀 优秀、良好 优秀
投标人B 中等 优秀、良好 优秀 优秀 优秀、良好
表3-3 评语等级记录表
评委姓名：丁 填表日期：96年7月12日
评判 评判 等级 因素 投标人 标价u1 对招标书的响应u2 设备技术性能u3 制造厂业绩u4 商业信誉u5
投标人A 良好 优秀 优秀 优秀 优秀
投标人B 中等 优秀 优秀、良好 优秀、良好 优秀、良好
表3-3 评语等级记录表
评委姓名：戊 填表日期：96年7月12日
评判 评判 等级 因素 投标人 标价u1 对招标书的响应u2 设备技术性能u3 制造厂业绩u4 商业信誉u5
投标人A 良好 良好 优秀、良好 优秀、良好 优秀、良好
投标人B 中等 中等、及格 良好、中等 良好、中等 良好
表3-3 评语等级记录表
评委姓名：己 填表日期：96年7月12日
评判 评判 等级 因素 投标人 标价u1 对招标书的响应u2 设备技术性能u3 制造厂业绩u4 商业信誉u5
投标人A 良好 优秀、良好 优秀、良好 优秀 优秀
投标人B 中等 良好 优秀、良好 优秀 优秀
表3-3 评语等级记录表
评委姓名：庚 填表日期：96年7月12日
评判 评判 等级 因素 投标人 标价u1 对招标书的响应u2 设备技术性能u3 制造厂业绩u4 商业信誉u5
投标人A 良好 良好 中等 优秀 优秀
投标人B 中等 及格 良好 优秀 优秀
表3-4 隶属函数表(投标人A)
隶属 等级 频率 向量 因素向量 v1优秀 v2良好 v3中等 v4及格 v5不及格
u1 0 7.2/7.2 0 0 0
u2 5.4/7.2 2.7/7.2 0 0 0
u3 6.3/7.2 1.8/7.2 0.9/7.2 0 0
u4 7.2/7.2 2.1/7.2 0 0 0
u5 7.2/7.2 0.9/7.2 0 0 0
表3-4 隶属函数表(投标人B)
隶属 等级 频率 向量 因素向量 v1优秀 v2良好 v3中等 v4及格 v5不及格
u1 0 0 7.2/7.2 0 0
u2 4.5/7.2 2.1/7.2 0.9/7.2 1.8/7.2 0
u3 5.4/7.2 3.7/7.2 0.9/7.2 0 0
u4 5.1/7.2 5.4/7.2 0.9/7.2 0 0
u5 6.3/7.2 3.1/7.2 0 0 0
(注: 因评委人数少, 样本容量较少最好不采用确定隶属函数的第一种方法, 应采用第二种方法。这里主要示范一下第一种方法的计算过程。)
(2) 计算投标人--投标人A综合评判结果
①根据表(3-3)，用式(2-13)计算得出表(3-4)隶属函数表。
②由表(3-4)可得模糊评判矩阵R；由表(3-1)可得评标因素加权模糊向量A；
即：
R= A=[0.3,0.1,0.4,0.1,0.1]
则评判等级模糊向量B:
B=A*R=[0.3,0.1,0.4,0.1,0.1]*
=[0.4,0.3,0.125,0,0]
③按式(2-17)求得投标人--投标人A的优劣指数--最终模拟总分Y投标人A：
Y投标人A=88.34
(3) 按步骤(2)同样求得关于投标人--投标人B的模糊矩阵R:
R== 及优劣指数(最终模拟总分)Y投标人B：
Y投标人B＝84
(4) 比较Y投标人A与Y投标人B大小可以综合评判排名为：
投标人A第一， 投标人B第二。
（二）用隶属度求评判矩阵
９６年１０月在上海进行子午线轮胎技改设备国际招标项目TC96304D的评标又一次采用了该方法。TC96304D招标，有三名投标人参加了投标，评委有7人组成（见表3-7)。应用步骤如下：
１、研究并确定评标因素及其加权系数(见表3-5)。
２、确定评语等级(见表3-6)。
３、确定评委的表决加权系数(见表3-7)。
４、请各评委在阅读投标书后填写《评委评判记录表》(如表3-8)。
５、根据《评委评判记录表》，整理出各评委对每个投标人的评判矩阵(R甲A～R庚C)。式中R甲A表示评委甲对投标人A的评判矩阵, 以此类推。
R甲A= R甲B=
R甲C= R乙A=
R乙B= R乙C=
R丙A= R丙B=
R丙C= R丁A=
R丁B= R丁C=
R戊A= R戊B=
R戊C= R己A=
R己B= R己C=
R庚A= R庚B=
R庚C=
６、求对各投标人的评判矩阵ＲＡ、ＲＢ、ＲＣ。
ＲＡ＝ Ｒ甲Ａ＋ Ｒ乙Ａ＋ Ｒ丙Ａ＋ Ｒ丁Ａ＋ Ｒ戊Ａ＋ Ｒ己Ａ + Ｒ庚Ａ =
ＲB＝ Ｒ甲B＋ Ｒ乙B＋ Ｒ丙B＋ Ｒ丁B＋ Ｒ戊B＋ Ｒ己B＋ Ｒ庚B =
ＲC＝ Ｒ甲C＋ Ｒ乙C＋ Ｒ丙C＋ Ｒ丁C＋ Ｒ戊C＋ Ｒ己C＋ Ｒ庚C =
７、求对投标人Ａ、Ｂ、Ｃ的评判结果向量ＢＡ、ＢＢ、ＢＣ。
ＢＡ＝Ａ＊ＲＡ＝[0.25 0.1 0.4 0.1 0.15]* =[0.25 0.25 0.184 0.252 0.1]
ＢＢ＝Ａ＊ＲＢ＝[0.25 0.1 0.4 0.1 0.15]* =[0.4 0.287 0.25 0.122 0.022]
ＢＣ＝Ａ＊ＲＣ＝[0.25 0.1 0.4 0.1 0.15]* =[0.204 0.4 0.364 0.25 0.029]
８、求投标人Ａ、Ｂ、Ｃ的优劣指数ＹＡ、ＹＢ、ＹＣ。
将ＢＡ、ＢＢ、ＢＣ代入式(2-17):
ＹＡ=75.44
ＹＢ=83.02
ＹＣ=78.46
９、比较投标人Ａ、Ｂ、Ｃ的优劣指数ＹＡ、ＹＢ、ＹＣ，可见ＹＢ值最高，
所以投标人Ｂ中标。
表３－５
论域U u1 u2 u3 u4 u5
评判因素 标价 投标质量 投标设备技术性能 对招标书的响应度 资信及业绩等
因素加权系数A 0.25 0.1 0.4 0.1 0.1５
表３－６等级及其参数值表
等级vj v1 v2 v3 v4 v5
名称 很好 较好 一般 较差 很差
参数αｊ 95 85 75 65 30
表３－７
评委姓名 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚
职称 教授 工程师 工程师 高工 工程师 经济师 工程师
专业 机械 计量 机械 工程 电气、自动化 商务 招标
表决加权系数 1.１ 1.０ 1.0 1.0 1.0 0.9 0.9
表３－８ 评委评判记录表
标书编号: ____________ 投标人名称: ___________
表现 概率评判因素 很好(V1) 较好(V2) 一般(V3) 较差(V4) 很差(V5)
投标价格 (U1)
投标质量 (U2)
技术性能 (U3)
对招标书响应度(U4)
资信及业绩等(U5)
四、结论
通过对模糊集合理论的分析与研究并结合我国评标工作的实践，推导出了综合评标模型。以该模型为核心探讨性总结出一套模糊模型评标法。该方法在两个实际评标活动中得到了成功的运用，实践证明：
(1) 完全可以替代现为普遍采用的经验评标法；
(2) 它是一个科学的评标法，能客观地投标人的投标排列名次；
（3）该方法理论性虽强，但要求评委掌握的专门知识并不多，只要简单地向评委说明在阅读投标书后，对投标的分项得出个不求十分精确的定性评定即可，便于在实践中推广；
(4) 由于该方法计算过程复杂、繁琐，本人将编制出该方法的应用程序,借助计算机完全可以快速方便地得出结果。
参 考 文 献
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[2] 任平，模糊信息处理的数学基础，贵州科技出版社，1995.
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[5] Zedeh, L.A.,Probability Measures of Fuzzy Events, J.Math. Anal.
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[12] 薛华成译，运筹学入门，清华大学出版社，1984.
备注：原文的表格 恐怕没有完整还原。 |
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发表于 2006-9-9 19:34:21
发表于 2006-10-23 16:11:20